设函数f（x）在区间（a，b）上连续可导，xi∈（a，b），λi＞0，（i=1，2，…，n），且ni＝1λi=1，证明：存在ξ∈（a，b），使得ni＝1λif′（xi）=f′（ξ）．

Question

设函数f（x）在区间（a，b）上连续可导，x_i∈（a，b），λ_i＞0，（i=1，2，…，n），且

n

i＝1

λi=1，
证明：存在ξ∈（a，b），使得

n

i＝1

λ_if′（x_i）=f′（ξ）．

Answer 1

不妨设 x₁≤x₂≤…≤x_n-1≤x_n，
若x₁=x_n，
则取ξ=x₁，

n

i＝1

λif′(xi)＝f′(ξ)显然成立．
若x₁＜x_n，
再设f′（x₁）=min{f′（x₁），f′（x₂），…，f′（x_n）}，
f′（x_n）=max{f′（x₁），f′（x₂），…，f′（x_n）}，
则有：
f′(x1)＝f′(x1)

n

i＝1

λi＝

n

i＝1

λif′(x1)≤

n

i＝1

λif′(xi)≤

n

i＝1

λif′(xn)＝f′(xn)

n

i＝1

λi＝f′(xn)，
即：f′(x1)≤

n

i＝1

λif′(xi)≤f′(xn)．
又因为f′（x）在区间（a，b）上连续，
因而也在（x₁，x_n）上连续，
由连续函数的介值定理可得，
存在ξ∈（x₁，x_n）⊂（a，b），使得f′(ξ)＝

n

i＝1

λif′(xi)．