（2010•荆门模拟）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别为i、j，坐标平面上的点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①OA1＝2j且AnAn+1＝i+j；②OB1＝2i且BnBn+1＝(34)n×2i；求OAn及OBn的坐标；若四

Question

（2010•荆门模拟）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别为

i

、

j

，坐标平面上的点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：①

OA1

＝2

j

且

AnAn+1

＝

i

+

j

；②

OB1

＝2

i

且

BnBn+1

＝((3)/(4))n×2

i

；求

OAn

及

OBn

的坐标；若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^*）的表达式；对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数N，当n＞N时恒有a_n+1＜a_n成立？若存在，求出N的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）OAn＝OA1+A1A2+…+AnAn+1=2j+(n−1) (i+j)=（n-1，n+1），OBn＝OB1+B1B2+…+BnBn+1=2i[1+34+(34)2 +…+(34)N−1]=8i[1−(34)n]=（8[1−(34)n]，0）；（2）由（1）可知：点An（n-1，n+1）都在直线y=x=...