f(x)在0,正无穷）上连续,在（0,正无穷)上可导并满足f(0)=0,f(x)>=0,f(x)=f'(x)求证f（x）恒等于0是14年复习全书135页的例4.11为什么对某正函数R(x),R(x)f(x)是单调不增的,就能证明f（x）是单调不增的

Question

f(x)在【0,正无穷）上连续,在（0,正无穷)上可导并满足f(0)=0,f(x)>=0,f(x)=f'(x) 求证f（x）恒等于0
是14年复习全书135页的例4.11
为什么对某正函数R(x),R(x)f(x)是单调不增的,就能证明f（x）是单调不增的啦

Answer 1

对一般的函数f(x),满足对某正函数R(x),R(x)f(x)单调不增,并不能证明f(x)单调不增.
反例如f(x) = 2^x,R(x) = 1/3^x.
这道题是因为有条件f(0) = 0,f(x) ≥ 0.
于是R(0)f(0) = 0,R(x)f(x) ≥ 0.
如果证明了R(x)f(x)单调不增,就有R(x)f(x) ≤ R(0)f(0) = 0,故R(x)f(x) = 0.
再由R(x) ≠ 0即得f(x) = 0,自然单调不增.
对这道题来说可以取R(x) = e^(-x),证明R(x)f(x)单调不增,答案想必也是这么做的吧.