(x^6+1)/(x^4+1)的积分和(x^4+1)/(x^6+1)的积分,两个都是不定积分

Question

(x^6+1)/(x^4+1)的积分和(x^4+1)/(x^6+1)的积分,
两个都是不定积分

Answer 1

这个题目是微积分里一个很运算复杂的题型,但是其解题思路不难,
由于电脑不好打出所有的步骤来

下面以第一个的主要步骤及思路为例：

对分子应用立方和公式因式分解

∫ （ x^6 +1）/(x^4+1) dx = ∫ (x^2+1)(x^4-x^2+1) / (x^4+1) dx

分子分母同时除以x^2

（1+1/x^2)( x^2-1+1/x^2 ) (x^2+1/x^2-1)
=∫ —————————— dx = ∫ ——————— d ( x-1/x )
(x^2+1/x^2) ( x^2+1/x^2)

平方和公式分别对分子分母进行合并得


（x-1/x)^2+1
∫ —————— d(x-1/x) =
(x-1/x)^2+2
再对其进行换元 令 t = x-1/x

通过以上变换,以后的步骤就简单多了!