请教:数学问题已知函数f(x)=根号下(1+2^x+a*4^x)的定义域为(-无穷大,1],求a的取值范围?(其中2^x是2的x次幂的意思)答案究竟是a>=-3/4呢?还是就是a=-3/4?不是这样的,有老师认为定义域不同于在区间上

Question

请教:数学问题
已知函数f(x)=根号下(1+2^x+a*4^x)的定义域为(-无穷大,1],求a的取值范围?(其中2^x是2的x次幂的意思)
答案究竟是a>=-3/4呢?还是就是a=-3/4?
不是这样的,有老师认为定义域不同于在区间上有意义!如果a=0,解这个函数的定义域是R,那就不符合题目意思了啊!

Answer 1

sqrt表示根号
已知函数f(x)=sqrt(1+2^x+a*4^x)的定义域为(-∞,1],求a的取值范围?

既然定义域为(-∞,1],那么a的值只有1个,即方程1+2^x+a*4^x≥0的解集为(-∞,1]时a的值,而显然当x=1时,1+2^x+a*4^x=0,a=-3/4
变式：
已知函数f(x)=sqrt(1+2^x+a*4^x)的在(-∞,1]恒有意义,求a的取值范围?

要使f(x)=sqrt(1+2^x+a*4^x)的在(-∞,1]恒有意义,令f(x)=sqrt(1+2^x+a*4^x)的定义域A,那么(-∞,1]∈A,也即方程1+2^x+a*4^x≥0的解集A,(-∞,1]∈A
[二楼用了讨论的方法,这无可辩驳,但是讨论非常麻烦,容易出错,而且讨论是山穷水尽的情况下不得已而为之,能不能避开讨论呢?当然可以,我介绍一种分离参数法.]
先令t=2^x,x∈(-∞,1]则当t∈(0,2]时g(t)=1+t+at^2≥0恒成立
方程中t与x纠缠不清,使得我们必须想办法把a分离出来,显然t=0时,a可以是任何值,当t≠0两边同除以t^2
(1/t)^2+1/t+a≥0 h(1/t)≥0 1/t∈[1/2,+∞] h(x)在x∈[1/2,+∞]上恒大于0,而h(x)=x^2+x+a,在[1/2,+∞]上是单调递增的,只要h(1/2)≥0成立即可,解得a≥-3/4
楼主在做题的时候,要善于发现这种问题,应该说多思考,把问题想透,数学就学好了.我在高一发现分离参数法后,还特意找了一些相同的题,用二次函数法和分离参数法分别试验其可行性与快捷性,结果获益匪浅,在高二学了不等式后你会对这方面题有一个更深入的了解.