已知公差不为0的等差数列{an}的前3项和S3=9，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；（2）设Tn为数列{1Sn+1-1}的前n项和，求证：Tn<34．

Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n；
（2）设T_n为数列{(1)/(Sn+1-1)}的前n项和，求证：T_n<(3)/(4)．

Answer 1

（1） 设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），由S₃=9，得3a₁+3d=9，即a₁+d=3．
又a₁，a₂，a₅成等比数列，∴a1(a1+4d)=(a1+d)2，整理得：d=2a₁，
联立

a1+d=3

d=2a1

，解得

a1=1

d=2

，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，Sn=n+(2n(n-1))/(2)=n2；
（2）证明：(1)/(Sn+1-1)=(1)/(n(n+2))=(1)/(2)((1)/(n)-(1)/(n+2))，
∴Tn=(1)/(2)[(1-(1)/(3))+((1)/(2)-(1)/(4))+((1)/(3)-(1)/(5))+…+((1)/(n)-(1)/(n+2))]
=(1)/(2)(1+(1)/(2)-(1)/(n+1)-(1)/(n+2))=(3)/(4)-(2n+3)/(2n2+6n+4)<(3)/(4)．