把公差d=2的等差数列｛an｝的各项依次插入等比数列｛bn｝中将｛bn｝按原顺序分成1项,2项,4项,…,2^n-1项的各组,得到数列｛cn｝：b1,a1,b2,b3,a2,b4,b5,b6,b7,a3,…,若｛cn｝的前n项的和为Sn,且c1=1,c2=2,S3

Question

把公差d=2的等差数列｛an｝的各项依次插入等比数列｛bn｝中
将｛bn｝按原顺序分成1项,2项,4项,…,2^n-1项的各组,得到数列｛cn｝：b1,a1,b2,b3,a2,b4,b5,b6,b7,a3,…,若｛cn｝的前n项的和为Sn,且c1=1,c2=2,S3=13/4,则S100=?

Answer 1

数列｛cn｝：b1,a1,b2,b3,a2,b4,b5,b6,b7,a3,…,若｛cn｝的前n项的和为Sn,且c1=1,c2=2,S3=13/4,
所以b1=1,a1=2,b2=1/4
等比数列｛bn｝的公比q=b2/b1=1/4
将｛bn｝按原顺序分成1项,2项,4项,…,2^n-1项的各组,得到数列｛cn｝：b1,a1,b2,b3,a2,b4,b5,b6,b7,a3,…,在数列｛cn｝中
1+2+4+...+2^n-1+n-1=2^n+n-2
n=6,2^n+n-2=68,n=7,2^n+n-2=133
所以前100项中等差数列｛an｝有6项,等比数列｛bn｝有94项,得
S100=(a1+a2+..+a6)+(b1+b2+.+b94)=(6a1+15d)+b1[q^94-1]/(q-1)=42+[4-(1/4）^93]/3=43又1/3-[(1/4）^93]/3