在等比数列{an}中，公比q＞1，且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2与a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2an+5，且数列{bn}的前n项的和为Sn，求数列{Snn}的前n项和Tn．

Question

在等比数列{a_n}中，公比q＞1，且满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n+5，且数列{b_n}的前n项的和为S_n，求数列{(Sn)/(n)}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵a₂+a₃+a₄=28，∴a₁q+a₁q²+a₁q³=28①；又a₃+2是a₂、a₄的等差中项得到2（a₁q²+2）=a₁q+a₁q³②．
由①得：a₁q（1+q+q²）=28③，由②得：a₁q²=8，a₁q+a₁q³=20即a₁q（1+q²）=20④
③÷④得(1+q+q2)/(1+q2)＝(7)/(5)
∴2q²-5q+2=0
∴q=2或q=(1)/(2)
∵q＞1，∴q=2
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₃q^n-3=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，∴b_n=log₂ an+5=n+5，∴b₁=6
∴数列{b_n}是以6为首项，1为公差的等差数列，
∴S_n=((n+11)n)/(2)
∴(Sn)/(n)=(n+11)/(2)
∴数列{(Sn)/(n)}是以6为首项，(1)/(2)为公差的等差数列，
∴T_n=(n(6+(n+11)/(2)))/(2)=(n2+23n)/(4)．