已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）记cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．

Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项的和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=21，S₄+b₄=30．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，S₄=8+6d．…（3分）
由条件a₄+b₄=21，S₄+b₄=30，得方程组

2+3d+2q3＝21

8+6d+2q3＝30

解得

d＝1

q＝2

所以a_n=n+1，b_n=2ⁿ，n∈N*．
（2）由题意知，c_n=（n+1）×2ⁿ．
记T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n．
则T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，
2 T_n=2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹，
所以-T_n=2×2+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）×2ⁿ⁺¹，
即T_n=n•2ⁿ⁺¹，n∈N*．