已知{an}是等差数列，a1=2，a3+a6+a9=36．数列{bn-an}的前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+2（n∈N*），b1=4（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项的和．

Question

已知{a_n}是等差数列，a₁=2，a₃+a₆+a₉=36．数列{b_n-a_n}的前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+2（n∈N^*），b₁=4
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃+a₆+a₉=36，
得3a₆=36，a₆=12，
又a₁=2，∴d=(a6-a1)/(6-1)=(12-2)/(5)=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
再由S_n+1=2S_n+2，得S_n+1+2=2（S_n+2），
∴数列{S_n+2}是以S₁=b₁-a₁=4-2=2为首项，以2为公比的等比数列，
则Sn+2=2n，
∴Sn=2n-2．
则（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）
=（b₁+b₂+…+b_n）-（2n+(n(n-1)×2)/(2)）=（b₁+b₂+…+b_n）-（n²+n）=2ⁿ-2．
∴b₁+b₂+…+b_n=2ⁿ+n²+n-2．
则当n≥2时，b_n=2ⁿ+n²+n-2-2^n-1-（n-1）²-（n-1）+2=2^n-1+2n．
验证b₁=4不适合上式．
∴bn=

4，n=1

2n-1+2n，n≥2

；
（2）由（1）可知，数列{b_n}的前n项的和T_n=b₁+b₂+…+b_n=2ⁿ+n²+n-2．