（2014•红河州模拟）函数f（x）=|x+1|+|x+2|−a．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|-1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁RA）时，求证：|a+b|2＜|1+ab4|．

Question

（2014•红河州模拟）函数f（x）=√(|x+1|+|x+2|−a)．
（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；
（Ⅱ）设B={x|-1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁_RA）时，求证：(|a+b|)/(2)＜|1+(ab)/(4)|．

Answer 1

（Ⅰ）a=5时，函数f（x）=√(|x+1|+|x+2|−5)，
∴|x+1|+|x+2|-5≥0；
即|x+1|+|x+2|≥5，
当x≥-1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；
当-1＞x＞-2时，-x-1+x+2≥5，∴x∈∅；
当x≤-2时，-x-1-x-2≥5，∴x≤-4；
综上，f（x）的定义域是A={x|x≤-4或x≥1}．
（Ⅱ）∵A={x|x≤-4或x≥1}，B={x|-1＜x＜2}，
∴∁_RA=（-4，1），
∴B∩C_RA=（-1，1）；
又∵(|a+b|)/(2)＜|1+(ab)/(4)|⇔2|a+b|＜|4+ab|，
而

4(a+b)2−(4+ab)2

＝4(a2+2ab+b2)−(16+8ab+a2b2)

＝4a2+4b2−a2b2−16

＝a2(4−b2)+4(b2−4)

＝(b2−4)(4−a2)

；
当a，b∈（-1，1）时，
（b²-4）（4-a²）＜0；
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
即(|a+b|)/(2)＜|1+(ab)/(4)|．