设f（x）在（a,b）内二阶可导,且f（x1）=f（x2）=f（x3）,而a＜x1＜x设f（x）在（a,b）内二阶可导,且f（x1）=f（x2）=f（x3）,而a＜x1＜x2＜x3＜b,证明在（x1,x3）内至少存在一点§,使f’’（§）=0

Question

设f（x）在（a,b）内二阶可导,且f（x1）=f（x2）=f（x3）,而a＜x1＜x
设f（x）在（a,b）内二阶可导,且f（x1）=f（x2）=f（x3）,而a＜x1＜x2＜x3＜b,证明在（x1,x3）内至少存在一点§,使f’’（§）=0

Answer 1

∵f(x)的二阶导数存在
∴f(x)的一阶导数存在
∴f(x)连续
∵f(x)在〔x1、x2〕上连续,在（x1,x2）内可导,f(x1)=f(x2)
∴由罗尔定理得：至少存在一个c1属于（x1,x2）,使得f‘(c1)=0
同理,f(x)在[x2,x3]上连续,在(x2,x3)内可导,f(x2)=f(x3)
∴由罗尔定理得：至少存在一个c2属于（x2,x3）,使得f’(c2)=0
又∵f'(x)在〔c1,c2〕上连续,在（c1,c2）内可导,f'(c1)=f'(c2)
∴由罗尔定理得：至少存在一个ε属于（c1,c2）,使得f''(ε)=0
而（c1,c2）包含于（a,b）