已知函数g(x)＝−(12)x2的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x-2-x2（x∈A）．（1）求集合A，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式f（3x

Question

已知函数g(x)＝−((1)/(2))x2的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）求集合A，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＜f（5x+1）．

Answer 1

（1）∵x²＞0，
∴0＜((1)/(2))x2＜1，-1＜−((1)/(2))x2＜0，
即A={x|-1＜x＜0}．
∵函数f（x）=x^-2-x²（x∈A），而A={x|-1＜x＜0}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数；
（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=(1)/(x12)-x12-（(1)/(x22)-x22）=(x22−x12)/(x12x22)+（x22-x12）
=（x22-x12）（1+(1)/(x12x22)）．
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴x12＞x22，(1)/(x12x22)＞0，
∴（x22-x12）（1+(1)/(x作业帮用户2016-11-19举报问题解析（1）由x2＞0，0＜((1)/(2))x2＜1，可求得函数g(x)＝−((1)/(2))x2的值域A，利用奇偶函数的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；（2）设-1＜x1＜x2＜0，作差后化积f（x1）-f（x2）=（x22-x12）（1+(1)/(x12x22)），判断积的符号即可；（3）利用（2）中所证的单调性与其定义域为A可列关于x的不等式组，解之即可．名师点评本题考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．考点点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，着重考查函数奇偶性与单调性的定义及其综合应用，综合性强，属于难题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)