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已知函数f(x)=1/2(2^x+2^-x),求f(x)的定义域,值域,并确定函数的奇偶性,单调性已知函数f(x)=1/2(2^x+2^(-x)),求f(x)的定义域,值域,并确定函数的奇偶性,单调性
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答案和解析
定义域为R
∵2^x>0
∴2^x+2^(-x)≥2
当2^x=1时即x=0时取得最小值2
∴f(x)的值域为[1,+∞)
∵f(-x)=0.5[2^(-x)+2^(x)]=f(x)
∴f(x)是偶函数
f(-x)=0.5[2^(-x)+2^x]=f(x)
令t=2^x>0,f(t)=0.5(t+1/t)
求导：f'(t)=0.5(1-1/t²)
解f'(t)=0得：t=1(t=-10矛盾舍弃）
所以：t=2^x=1,x=0
当t0恒成立
∴单调递减区间为(-∞,0)
∵2^x>0
∴2^x+2^(-x)≥2
当2^x=1时即x=0时取得最小值2
∴f(x)的值域为[1,+∞)
∵f(-x)=0.5[2^(-x)+2^(x)]=f(x)
∴f(x)是偶函数
f(-x)=0.5[2^(-x)+2^x]=f(x)
令t=2^x>0,f(t)=0.5(t+1/t)
求导：f'(t)=0.5(1-1/t²)
解f'(t)=0得：t=1(t=-10矛盾舍弃）
所以：t=2^x=1,x=0
当t0恒成立
∴单调递减区间为(-∞,0)
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