奇偶函数的公式证明如果f(x)定义域关于原点对称,那么F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.这样就可以把f(x)表示成f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]的一个偶函数与一个奇函数的和,即任何一

Question

奇偶函数的公式证明
如果f(x)定义域关于原点对称,那么F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
这样就可以把f(x)表示成f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]的一个偶函数与一个奇函数的和,即任何一个定义域关于原点对称的函数都可以写成一个奇函数,一个偶函数之和.
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请问这个到底是怎么得出来的,我连第一步都看不懂,

Answer 1

.首先函数的拥有奇偶性的条件是定义域关于原点对称
F(x)=f(x)+f(-x)
F（-x）=f（-x）+f（x）=F(x) 所以F（x）是偶函数
G(x)=f(x)-f(-x)
G(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(-x) 所以G（x）是奇函数
f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]
不就是f（x）=1/2F(x)+1/2G(x)么
所以说可以写成一个奇函数和一个偶函数之和