已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=-1，不等式组x＞0f(x)＜0的解集是{x|1＜x＜3}．（1）求函数f（x）的解析式；（2）作出f（x）的图象并根据图象讨论关于x

Question

已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=-1，不等式组

x＞0

f(x)＜0

的解集是{x|1＜x＜3}．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）作出f（x）的图象并根据图象讨论关于x的方程：f（x）-c=0（c∈R）根的个数．

Answer 1

（1）由题意得当x＞0时，设f（x）=a（x-1）（x-3），∵f（2）=-1，∴a=1，∴f（x）=x²-4x+3．
当x＜0时，则有-x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3，即：f（x）=-x²-4x-3．
当x=0时，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0．
所以，f(x) ＝ 

x2−4x+3 ， (x＞0)

0  ，  (x＝0)

−x2−4x−3  ， (x＜0)

．…（5分）
（2）作图（如图所示）：
  …（8分）
由f（x）-c=0得：c=f（x），在上图中作y=c，根据直线y=c和y=f（x）的图象交点个数讨论方程的根：
当c≥3或c≤-3，方程有1个根．
当1＜c＜3或-3＜c＜-1，方程有2个根．
当c=-1或c=1，方程有3个根．
当0＜c＜1或-1＜c＜0，方程有4个根．
当 c=0，方程有5个根．…（10分）