设V是α1,α2,α3.α4生成的子空间,求V的一组基,并求在该基下向量α=α1+2α+3α3+4α4的坐标,其中α1=（1302）',α2=(-1110)',α3=(200-2)',α4=(2410)'

Question

设V是α1,α2,α3.α4 生成的子空间,求V的一组基,并求在该基下向量α= α1+2α+3α3+4α4 的坐标,
其中α1=（1 3 0 2）',α2=(-1 1 1 0)',α3=(2 0 0 -2)',α4=(2 4 1 0)'

Answer 1

α1,α2,α3.α4 的一个极大无关组即是V的一组基
(α1,α2,α3.α4)=
1 -1 2 2
3 1 0 4
0 1 0 1
2 0 -2 0
经初等行变换化为
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
所以 α1,α2,α3是V的一组基
且 α4 = α1+α2+α3
所以 α= α1+2α+3α3+4α4 = 5α1+6α2+7α3
即 α 在基α1,α2,α3 下的坐标为 (5,6,7)