已知数列an}的前n项和为sn，满足（p-1）sn=p2-an，其中p为正常数，且p≠1．（1）求证：数列{an}为等比数列，并求出{an}的通项公式；（2）若存在正整数M，使得当n≥M时，a1a4a7…a3n-2＞a36恒成立

Question

已知数列a_n}的前n项和为s_n，满足（p-1）s_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若存在正整数M，使得当n≥M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立，求出M的最小值；
（3）当p=2时，数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x，y均为整数，求出x，y的值．

Answer 1

（1）因为（p-1）s_n=p²-a_n，所以当n≥2时，（p-1）s_n-1=p²-a_n-1，
两式相减得（p-1）a_n=a_n-a_n-1，即pa_n=a_n-1，所以(an)/(an−1)＝(1)/(p)，
所以数列{a_n}为等比数列，公比为(1)/(p)，
又当n=1时，（p-1）s₁=p²-a₁，即（p-1）a₁=p²-a₁，所以pa1＝p2
因为p＞0，所以a₁=p，所以{a_n}的通项公式为：an＝p((1)/(p))n−1＝((1)/(p))n−2
（2）由（1）知：a₁a₄a₇…a_3n-2=((1)/(p))−1((1)/(p))2((1)/(p))5…((1)/(p))3n−4=((1)/(p))−1+2+5+…+3n−4＝((1)/(p))(n(3n−5))/(2)
而a36＝((1)/(p))34，所以不等式a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆，即为((1)/(p))(n(3n−5))/(2)＞((1)/(p))34
p为正常数，且p≠1，所以当0＜p＜1时，(1)/(p)＞1，所以(n(3n−5))/(2)＞34，解得n＜-4或n＞(17)/(3)，
故存在最小值为6的M，使得a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立；
当p＞1时，0＜(1)/(p)＜1，所以(n(3n−5))/(2)＜34，解得-4＜n＜(17)/(3)，不合题意，
综合可得：当当0＜p＜1时，所求M的最小值为6．
（3）当p=2时，an＝((1)/(2))

作业帮用户 2016-12-15 举报