已知A=[aij]n*n,其中aij=1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),求可逆阵P,使P的逆乘以A再乘以P=对角阵.已知A=[aij]n*n,其中aij=1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),求可逆阵P,使P的逆乘以A再乘以P=对角阵,到特征值可以求出,但是求特

Question

已知A=[aij]n*n,其中aij=1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),求可逆阵P,使P的逆乘以A再乘以P=对角阵.
已知A=[aij]n*n,其中aij=1(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),求可逆阵P,使P的逆乘以A再乘以P=对角阵,到特征值可以求出,但是求特征向量怎么我都没有化出结果来〜谢谢老师!

Answer 1

A的特征值为 n, 0,...,0
A-nE =
1-n 1 ... 1
1 1-n ... 1
...
1 1 ... 1-n

r1+r2+...+rn --第一行化为0行
ri - rn, i=2,3,...,n-1
0 0 0 ... 0
0 -n 0 ... n
0 0 -n ... n
...
1 1 1 ... 1-n

ri * (-1/n)
0 0 0 ... 0
0 1 0 ... -1
0 0 1 ... -1
...
1 1 1 ... 1-n
rn - r2 - r3 - ... -rn-1
0 0 0 ... 0
0 1 0 ... -1
0 0 1 ... -1
...
1 0 0 ... -1

所以 (1,1,...,1)^T 是A的属于特征值 n 的特征向量.

化是这样化, 但这样太笨了, 下面是特殊做法:
A是秩为1的矩阵, A = (1,1,...,1)^T (1,1,...,1) = ab^T 形式
则 b^Ta = n 是A 的特征值, a=(1,...,1)^T 是 A=ab^T 的特征向量.

这是由于 Aa = ab^Ta = na