若函数y=f（x）在区间[a，b]上是连续的、单调的函数，且满足f（a）•f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f（x）=-x3+x2+x+m，（1）当m=0时，讨论函数f（x）=-x3+x2+x

Question

若函数y=f（x）在区间[a，b]上是连续的、单调的函数，且满足f（a）•f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f（x）=-x³+x²+x+m，
（1）当m=0时，讨论函数f（x）=-x³+x²+x+m在定义域内的单调性并求出极值；
（2）若函数f（x）=-x³+x²+x+m有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=0时，f（x）=-x³+x²+x．
∴f′（x）=-3x²+2x+1=−3(x+(1)/(3))(x−1)．
列表如下：

由表可知：函数f（x）=-x³+x²+x在区间[-(1)/(3)，1]上单调递增，在(−∞，−(1)/(3))和（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）的极小值为f(−(1)/(3))=-(5)/(27)，
极大值为ƒ（1）=1．
（2）由（1）知，当x=-(1)/(3)时，
f（x）取得极小值f(−(1)/(3))＝ (1)/(27)+(1)/(9)−(1)/(3)+m＝m−(5)/(27)，
当x=1时，f（x）取得极大值
f（1）=-1+1+1+m=m+1，
当

m−(5)/(27)＜0

m+1＞0

，即-1＜m＜(5)/(27)时，
f（-1）=1+1-1+m=m+1＞0，
f(−(1)/(3))=m-(5)/(27)＜0，
f（1）=m+1＞0，f（2）=m-2＜0，
∴f（x）=-x³+x²+m在[−1，−(1)/(3)]上有唯一零点．
在(−(1)/(3)，1]上有唯一零点，在（1，2]上有唯一零点．又f（x）=-x³+x²+x+m在（-∞，-1]上单调递减，
在[2，+∞]上单调递减，∴在（-∞，-1]上恒有ƒf（x）≥f（-1）＞0，在[2，+∞）上恒有f（x）≤f（2）＜0．
∴f（x）=-x³+x²+x+m-在（-∞，-1]和[2，+∞）上无零点．∴-1＜m＜(5)/(27)时，函数f（x）=-x³+x²+x+m在有三个零点，
∴所求实数m的取值范围是(−1，(5)/(27))．