.已知f(x)=(1+x)的m次方＋(1＋2x)的n次方(m、n∈N*)展开式中x的系数为11,(1)x2的系数的最小值；(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.

Question

.已知f(x)=(1+x)的m次方＋(1＋2x)的n次方(m、n∈N*)展开式中x的系数为11,(1)x2的系数的最小值；
(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.

Answer 1

（1+x)的m次方 展开式中x的系数 为 m
（1+x)的m次方 展开式中x2的系数 为m*（m-1）/2
(1＋2x)的n次方 展开式中x的系数 为2n
(1＋2x)的n次方 展开式中x2的系数 为 2n*（n-1）
所以有 m+2n=11 所以m=11-2n
f(x)中x2的系数为 m*（m-1）/2 + 2n*（n-1）= 4n*n-23n+55 （对称轴为23/8）
所以取n=3 m=5 时 x2的系数的最小值 (m、n∈N*)
当x2的系数取得最小值时
f(x)=(1+x)的5次方＋(1＋2x)的3次方
（令x=1得到所有幂项的系数之和2的5次方）
(1+x)的5次方中x的奇次幂项的系数之和等于偶次幂项的系数之和=2的4次方=16
（1＋2x)的3次方 奇次幂项的系数之和为 x的系数+x3的系数=6+2=8
f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和为 16+8=24