已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．（1）求x2的系数取最小值时n的值．（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

Question

已知f（x）=（1+x） ^m +（1+2x） ⁿ （m，n∈N ^* ）的展开式中x的系数为11．
（1）求x ² 的系数取最小值时n的值．
（2）当x ² 的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

Answer 1

（1）由已知C _m ¹ +2C _n ¹ =11，∴m+2n=11，
x ² 的系数为C _m ² +2 ² C _n ² = (m(m-1))/(2) +2n（n-1）= (m2 -m)/(2) +（11-m）（ (11-m)/(2) -1）=（m- (21)/(4) ） ² + (351)/(16) ．
∵m∈N ^* ，∴m=5时，x ² 的系数取得最小值22，
此时n=3．
（2）由（1）知，当x ² 的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x） ⁵ +（1+2x） ³ ．
设这时f（x）的展开式为
f（x）=a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² ++a ₅ x ⁵ ，
令x=1，a ₀ +a ₁ +a ₂ +a ₃ +a ₄ +a ₅ =2 ⁵ +3 ³ ，
令x=-1，a ₀ -a ₁ +a ₂ -a ₃ +a ₄ -a ₅ =-1，
两式相减得2（a ₁ +a ₃ +a ₅ ）=60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．