脉脉含情的几何题两条线段AB、CD相交与点O,P和M和N分别是CB、OA、OD的中点,CA＝CO,BO＝BD,证明PM＝PN

Question

脉脉含情的几何题
两条线段AB、CD相交与点O,P和M和N分别是CB、OA、OD的中点,CA＝CO,BO＝BD,证明PM＝PN

Answer 1

取OC中点E,OB中点F,连接EM、EP、FN、FP
因为M、E是OA、OC的中点
所以
EM//AC且EM＝AC/2
同理
PE//OB且PE＝OB/2
PF//OC且PF＝OC/2
FN//BD且FN＝BD/2
因为CA＝OC,DB＝OB
所以EM＝PF,EP＝FN
在△OCA和△OBD中
由于CA＝OC,DB＝OB
所以∠CAO＝∠COA＝∠BOD＝∠BDO
所以∠OCA＝∠OBD
因为EM//AC
所以∠OEM＝∠OCA
同理∠OFN＝∠OBD
所以∠OEM＝∠OFN
显然四边形OEPF是平行四边形
所以∠OEP＝∠OFP
所以∠OEM＋∠OEP＝∠OFN＋∠OFP
即∠MEP＝∠PFN
所以△PEM≌△NFP
所以PM＝PN