在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则它的体积为s24(m+n+p)(m+n−p)(p+m−n)(n+p−m)s24(m+n+p)(m+n−p)(p+m−n)(n+p−m)立方米．

Question

在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则它的体积为

(√(s))/(2)

4	(m+n+p)(m+n−p)(p+m−n)(n+p−m)

(√(s))/(2)

4	(m+n+p)(m+n−p)(p+m−n)(n+p−m)

立方米．

Answer 1

令直三棱柱的底面三角形的三边分别为a，b，c，高为h，
则ah=m，bh=n，ch=p，即a=(m)/(h)，b=(n)/(h)，c=(p)/(h)．
在三角形ABC中，由cosC=(a2+b2−c2)/(2ab)，sinC=√(1−cos2C)，面积S=(1)/(2)absinC，
可推得海伦面积公式S=(1)/(4)√((a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(a+c−b))．
则S=(1)/(4)√((m+n+p)/(h)•(m+n−p)/(h)•(m+p−n)/(h)•(n+p−m)/(h))，
即有2√(S)h=

4	(m+n+p)(m+n−p)(m+p−n)(n+p−m)

故体积V=Sh=

作业帮用户 2017-10-13 举报

问题解析

令直三棱柱的底面三角形的三边分别为a，b，c，高为h，则ah=m，bh=n，ch=p，即a=(m)/(h)，b=(n)/(h)，c=(p)/(h)．通过三角形的海伦面积公式，和直棱柱的体积公式，化简整理得到结果．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本题考查直三棱柱的侧面积和体积的计算，以及海伦面积公式的应用，考查对字母的化简能力，属于中档题．

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