正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为8,M.N.P分别是A'B',AD,BB'的中点.(1)画出过点M.N.P正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为8,M.N.P分别是A'B',AD,BB'的中点.（1）画出过点M.N.P的平面与平面ABCD的交线以及平面BB'C'C的交点.（2

Question

正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为8,M.N.P分别是A'B',AD,BB'的中点.(1)画出过点M.N.P
正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为8,M.N.P分别是A'B',AD,BB'的中点.（1）画出过点M.N.P的平面与平面ABCD的交线以及平面BB'C'C的交点.（2）设平面PMN与棱长BC交于点Q,求PQ的长.

Answer 1

（1）延长MP,交直线AB于点O,连接ON交BC于点Q,连接QP,则NQ为平面PMN与平面ABCD的交线,PQ为平面PMN与平面B'C'CB的交线（因直线MP为平面MPN上的一条直线,故OM也在该平面上,因为N点在该平面上,O点在该平面上,故直线ON在该平面上）
（2）∵ABCD-A'B'C'D'是正方体
         ∴OA∥A'B'
        ∴角AOP=角OMB'
         ∵BP=B'P,角BPO=角MPB'
        ∴△MPB'全等于△OBP
        ∴OB=MB'=4
        ∵BC∥AD
        ∴BQ/4=BQ/AN=OB/OA=OB/（OB+AB）=4/（4+8）=1/3
        ∴BQ=4/3
        ∴PQ=√BP²+BQ²=√4²+（4/3）²=（4√10）/3