在平面直角坐标系xOy中，已知动点M（x，y）和N（-4，y）满足OM⊥ON．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若过点D（1，-1）的直线与轨迹交C于A、B两点，且D为线段AB的中点，求此直线的方程．

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知动点M（x，y）和N（-4，y）满足

OM

⊥

ON

．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点D（1，-1）的直线与轨迹交C于A、B两点，且D为线段AB的中点，求此直线的方程．

Answer 1

（1）因M（x，y），N（-4，y），
满足

OM

⊥

ON

，所以-4x+y²=0，
即：y²=4x，即为动点M的轨迹C的方程．
（2）由题意得AB与x轴垂直，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题设条件A、B两点在抛物线上．
y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
两式相减得：y₁²-y₂²=4x₁-4x₂
由中点坐标公式得y₁+y₂=-2，
∴k=(y1−y2)/(x1−x2)＝−2，
所以直线方程为y=-2x+1．