如图，BC是半圆O的直径，点G是半圆上任意一点，点A为BG的中点，AD⊥BC于D且交BG于E，AC与BG交于点F．求证：BE=AE=EF．

Question

如图，BC是半圆O的直径，点G是半圆上任意一点，点A为

BG

的中点，AD⊥BC于D且交BG于E，AC与BG交于点F．求证：BE=AE=EF．

Answer 1

证明：连接AB．
∵BC为⊙O的直径，
∴AB⊥AC．
又∵AD⊥BC，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C．
∵点A为

BG

的中点，
∴

AB

=

AG

，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AE=BE．
∵∠C=∠ABF，
∴Rt△ABF∽Rt△ACB，
∴AF：BF=AB：BC，即AF•BC=AB•BF，
∵∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAF=∠AFB，
∴AE=EF=BE．