已知函数f(x)在定义域R上可导,设点P是函数y=f(x)是图象上距离原点O最近的点.(1)若点P的坐标为(a,f(a)),求证:a+f(a)f'(a)=0;(2)若函数y=f(x)的图象不通过坐标原点O,证明直线OP与函数y=f(x)的图象上过P点

Question

已知函数f(x)在定义域R上可导,设点P是函数y=f(x)是图象上距离原点O最近的点.
(1)若点P的坐标为(a,f(a)),求证:a+f(a)f'(a)=0;
(2)若函数y=f(x)的图象不通过坐标原点O,证明直线OP与函数y=f(x)的图象上过P点的切线互相垂直.

Answer 1

(1) 函数图像上任一点到原点距离的平方D(x) = x^2 + f(x)^2.
距离最小=>距离的平方最小=>两边求导等于零=>D'(x) = 2x + 2f(x)f'(x) = 0.
两边除以2,用最小距离时坐标代入,得：a+f(a)f'(a)=0.
(2) 在(a,f(a))点,函数切线斜率k1 = f'(a).OP斜率k2 = f(a) / a.
将(1)的结论两边/f(a)移项得：f'(a) = -a/f(a).即：k1*k2 = -1.即两直线垂直.