如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB1=3，M、N分别是B1C1和AC的中点．（1）求异面直线AB1与BC1所成的角；（2）求MN的长；（3）求MN与底面ABC所成的角．

Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB₁=3，M、N分别是B₁C₁和AC的中点．
（1）求异面直线AB₁与BC₁所成的角；
（2）求MN的长；
（3）求MN与底面ABC所成的角．

Answer 1

（1）过C作CD∥AB，过A作AD∥CB，交CD于D，连接C₁D，
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC，BC∥AD，BC=AD，
∴四边形ADC₁B₁为矩形，且AB₁∥C₁D，
∴∠BC₁D为异面直线AB₁与BC₁所成的角或其补角．由已知条件和余弦定理可得cos∠BC1D＝(9)/(25)．
∴异面直线AB₁与BC₁所成的角为arccos(9)/(25)．
（2）取BC的中点P，连接MP、NP，则MP∥BB₁，
∴MP⊥平面ABC，又NP⊂平面ABC，
∴MP⊥NP．PN＝(1)/(2)AB＝2，MP=3，
∴MN＝√(4+9)＝√(13)．
（3）由（2）知，MN与底面所成的角为∠MNP，且NP=2，
tan∠MNP＝(3)/(2)，∠MNP＝arctan(3)/(2)．