已知函数f(x)=2cosx^2-sinx^2-3cosx-1 1.求f(π/3)的值 2.求fx的最大值和最小值,并求fx最大值和最小值时

Question

已知函数f(x)=2cosx^2-sinx^2-3cosx-1 1.求f(π/3)的值 2.求fx的最大值和最小值,并求fx最大值和最小值时

Answer 1

f(x)=2cos²x-sin²x-3cosx-1
f(x)=3cos²x-cos²x-sin²x-3cosx-1
f(x)=3cos²x-(cos²x+sin²x)-3cosx-1
f(x)=3cos²x-3cosx-2………………………………(1)
f(x)=3cosx(cosx-1)-2
1、x=π/3时：
f(π/3)=3cos(π/3)[cos(π/3)-1]-2
f(π/3)=3×(1/2)(1/2-1)-2
f(π/3)=-3/4-2
f(π/3)=-11/4
2、求最值：
令：cosx=t,1≥t≥-1
代入(1)式,有：
g(t)=3t²-3t-2
g'(t)=6t-3
1、令：g'(t)＞0,即：6t-3＞0
解得：1≥t＞1/2
即：t∈(1/2,1]时,g(t)是单调增函数
2、令：g'(t)＜0,即：6t-3＜0
解得：1/2＞t≥-1
即：t∈[-1,1/2)时,g(t)是单调减函数
t=1/2时,g(t)取得极小值,g(1/2)=3×(1/2)²-3×(1/2)-2=-11/4
g(-1)=3×(-1)²-3×(-1)-2=4
g(1)=3×(1)²-3×(1)-2=-2
因此,f(x)的最大值是4、最小值是-11/4.