设fx=x^2+bx+c(b,c∈R),若丨x丨≥2时,f(x)≥0,且f(x)在区间(2,3]上的最大值为1（1）求f(3)的值（2）若fx=x^2+bx+c不存在零点,求b的范围,并求b^2+c^2的最大值（3）若fx=x^2+bx+c存在零点,求b的值

Question

设fx=x^2+bx+c(b,c∈R),若丨x丨≥2时,f(x)≥0,且f(x)在区间(2,3]上的最大值为1
（1）求f(3)的值
（2）若fx=x^2+bx+c不存在零点,求b的范围,并求b^2+c^2的最大值
（3）若fx=x^2+bx+c存在零点,求b的值

Answer 1

（1）求f(3)的值
∵fx=x^2+bx+c(b,c∈R)是开口向上的抛物线,且f(x)在区间(2,3]上的最大值为1
∵区间(2,3]左侧为开区间,右侧为闭区间
∴其最大值1只能在端点x=3处取得
∴f(3)=1
（2）若fx=x^2+bx+c不存在零点,求b的范围,并求b^2+c^2的最大值
∵fx=x^2+bx+c=（x+b/2）^2+c-b^2/4
∴c-b^2/4>0
∵f(3)=9+3b+c=1
∴b^2+12b+32=(b+4)(b+8)