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a、b、c、不全为0,满足a+b+c=0,a³+b³+c³=0,称使得a的n次方+b的n次方+c的n次方+0恒成立的正整数n为“好数”,则不超过2007的正整数中“好数”的个数为?
题目详情
a、b、c、不全为0,满足a+b+c=0,a³+b³+c³=0,称使得a的n次方+b的n次方+c的n次方+0恒成立的正整数n为“好数”,则不超过2007的正整数中“好数”的个数为?
▼优质解答
答案和解析
由a^3＋b^3＋c^3＝(a＋b＋c)(a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca)＋3abc
由于a＋b＋c＝0,a^3＋b^3＋c^3＝0
∴3abc＝0
因为a、b、c不全为零,故a、b、c中只有一个数为零,不妨设c＝0,从而a＝－b
因此a^n＋b^n＋c^n＝0恒成立即(－b)^n＋b^n＝0恒成立,显然满足条件的正整数n为奇数,即不超过2007的正整数中“吉祥数”有1、3、5、…、2007共1004个,它们都是奇数哦~
由于a＋b＋c＝0,a^3＋b^3＋c^3＝0
∴3abc＝0
因为a、b、c不全为零,故a、b、c中只有一个数为零,不妨设c＝0,从而a＝－b
因此a^n＋b^n＋c^n＝0恒成立即(－b)^n＋b^n＝0恒成立,显然满足条件的正整数n为奇数,即不超过2007的正整数中“吉祥数”有1、3、5、…、2007共1004个,它们都是奇数哦~
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