M=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2；N=(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).M+N=?4abc

Question

M=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2；N=(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).M+N=?
4abc

Answer 1

M+N=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c-(a-b)][c+(a-b)](a+b-c)=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+[c^2-(a-b)^2](a+b-c)
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[c(a+b-c)+c^2-(a-b)^2]
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[ac+bc+2ab-a^2-b^2]
=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+(a+b-c)[a(b+c-a)+b(c+a-b)]
=a(b+c-a)[(b+c-a)+(a+b-c)]+b(c+a-b)[(c+a-b)+(a+b-c)]
=a(b+c-a)2b+b(c+a-b)2a
=2ab[(b+c-a)+(c+a-b)]
=2ab2c
=4abc
令a=0,得：M+N=0,知M+N含因式a,同理M+N含因式b、c,又因为M+N的最高次数为三,故M+N可表示成kabc的形式,其中k为待定系数,令a=b=c=1,代人M+N=kabc解得k＝4,可知M+N＝4abc.