△ABC的内角A、B、C的对边分别为abc设向量m=(a,b)向量n=(b+c,a)则m//n是A=2B的充要条件为什么?

Question

△ABC的内角A、B、C的对边分别为abc 设向量m=(a,b) 向量n=(b+c,a)则m//n是A=2B的充要条件 为什么?

Answer 1

m=(a,b),n=(b+c,a)
先看充分性：m∥n,则：n=km,即：(b+c,a)=k(a,b)
即：b(b+c)=a^2,即：a^2=b^2+bc
即：a^2(b-c)=b(b+c)(b-c),即：a^2c=ba^2-b^3+bc^2
=b(a^2+c^2-b^2),即：(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=a/(2b)=sinA/(2sinB)
故：cosB=sinA/(2sinB),即：sinA=sin(2B),而：cosB>0
故：0<2B如果A+2B=π,则：B=C,即b=c,故：a^2=2b^2
故：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=0,即：A=π/2,B=C=π/4
还是满足A=2B的条件,故充分性满足
必要性：A=2B,即：sinA=2sinBcosB
即：a=2b(a^2+c^2-b^2)/(2ac),即：b(a^2+c^2-b^2)=a^2c
即：b(c^2-b^2)=a^2(c-b),即：b(c+b)=a^2
故：n=(b+c,a)=(a^2/b,a)=a(a,b)/b,故：m与n平行
必要性满足