若级数∞n=1|un-un-1|收敛，正项级数∞n=1vn收敛，证明级数∞n=1unvn绝对收敛．

Question

若级数

∞

n=1

|un-un-1|收敛，正项级数

∞

n=1

vn收敛，证明级数

∞

n=1

unvn绝对收敛．

Answer 1

证明：由

∞

n=1

|un-un-1|收敛，知级数

∞

n=1

(un-un-1)收敛．
设级数

∞

n=1

(un-un-1)的部分和为S_n，则
S_n=（u₂-u₁）+（u₃-u₂）+…+（u_n-u_n-1）=u_n-u₀
设

lim

n→∞

Sn=S则

lim

n→∞

un=S+u0．
故存在常数M>0，使得|u_n|≤M，因此|u_nv_n|≤Mv_n．
由正项级数

∞

n=1

vn收敛，知级数

∞

n=1

unvn绝对收敛．