有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:有一些自然数n,满足：2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问：这样的 n 中最小的是多少?

Question

有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:
有一些自然数n,满足：2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问：这样的 n 中最小的是多少?

Answer 1

47
一、
因为5^n尾数只能是5,则5^n必是奇数,要满足5^n - n是2的倍数,则n必是奇数
二、
要满足3^n - n是5的倍数,则 3^n - n 的尾数只能是0 或 5
3^n的尾数是3,9,7,1,3,9,7,1……（4个一循环）
除以5后的余数为 3,4,2,1,则n的尾数只能在 3,4,2,1,8,9,7,6中选,去掉偶数n的尾数只能在3,1,9,7中选.
当n的尾数是1时,(10k+1)/4余数只能是1或3,则3^(10k+1)的余数只能是3或7,尾数是(3-1)或者(7-1)显然都不能满足是5的整数倍,故n的尾数不能是1,同理n的尾数不能是9.
n的尾数只能是3或者7.n=7,n=13满足3^n - n 是5的倍数.4与10的最小公倍数为20,则n可能是 (7+20k) 或 (13+20k) k∈N
三、
很显然2^n不能被3整除,则 2^n 除以 3 后余数只可能是 1 或 2,且n为奇数时2^n 除以 3 余2,n为偶数时2^n 除以 3 余1,又n只能是奇数,那么必满足2^n 除以 3 余2,要使2^n - n 是3的倍数,n必满足除以3后余2
考察 (7+20k) 或 (13+20k) k∈N
7÷3=2……1
13÷3=4……1
27÷3=9……0
33÷3=11……0
47÷3=15……2
则满足2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数 最小的自然数为 47