已知函数f(x)=2x+1x2，直线l：y=kx-1．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线；（Ⅲ）试确定曲线y=f（x）与直线l的交点个数，并说明理由．

Question

已知函数f(x)=2x+(1)/(x2)，直线l：y=kx-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线；
（Ⅲ）试确定曲线y=f（x）与直线l的交点个数，并说明理由．

Answer 1

（本小题满分13分）
（Ⅰ） 函数f（x）定义域为{x|x≠0}，…（1分）
求导，得f′(x) =2-(2)/(x3)，…（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表所示：

x	（-∞，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	-	0	+
f（x）	↗	↘		↗

所以函数y=f（x）的单调增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1），…（3分）
所以函数y=f（x）有极小值f（1）=3，无极大值．              …（4分）
（Ⅱ）证明：假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y=f（x）相切，…（5分）
设切点为A(x0，2x0+(1)/(x02) )，又因为f′(x) =2-(2)/(x3)，
所以切线满足斜率k=2-(2)/(x03)，且过点A，
所以2x0+(1)/(x02) =(2-(2)/(x03))x0-1，…（7分）
即(3)/(x02) =-1，此方程显然无解，
所以假设不成立．
所以对于任意k∈R，直线l都不是曲线y=f（x）的切线．…（8分）
（Ⅲ） “曲线y=f（x）与直线l的交点个数”等价于“方程2x+(1)/(x2)=kx-1的根的个数”．
由方程2x+(1)/(x2)=kx-1，得k=(1)/(x3)+(1)/(x)+2．…（9分）
令t=(1)/(x)，则k=t³+t+2，其中t∈R，且t≠0．
考察函数h（t）=t³+t+2，其中t∈R，
因为h′（t）=3t²+1>0时，
所以函数h（t）在R单调递增，且h（t）∈R．…（11分）
而方程k=t³+t+2中，t∈R，且t≠0．
所以当k=h（0）=2时，方程k=t³+t+2无根；当k≠2时，方程k=t³+t+2有且仅有一根，
故当k=2时，曲线y=f（x）与直线l没有交点，
而当k≠2时，曲线y=f（x）与直线l有且仅有一个交点．…（13分）