已知函数f(x)=log9(9^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.求⑴求k的值;⑵若函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点,求b的取值范围;⑶设h(x)=log9(a?3^x-4a/3),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取

Question

已知函数f(x)=log9(9 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
求⑴求k的值;
⑵若函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点,求b的取值范围;
⑶设h(x)=log9(a?3 ^x- 4a/3),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.

Answer 1

[1]由 f(1)=f(-1)则k=-1/2[2]因f(x)-1/2x=log9(9^x+1)-x=log9(1+9^(-x))>log9(1)=0,即f(x)>1/2x所以,当b<=0时,函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点.而b>0时,因log9(1+9^(-x))=b有解x=-log9(9^b-1),即函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b有交点.因此,函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点时b的取值范围是：b<=0.[3]f(x)可化为log9(3^x+3^(-x)),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,即方程f(x)=h(x)有唯一解.3^x+3^(-x)=a*3^x-4a/3(1-a)(3^x)^2+4a/3*(3^x)+1=0有唯一解当1-a=0即a=1时无解,当a不等于1时二次方程判别式为0,即(4a/3)^2-4(1-a)=0a=-3或a=3/4.但a=3/4时,经检验(1-a)(3^x)^2+4a/3*(3^x)+1=0仍无解.要使函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,a只能取为a=-3.