设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b＞a)上的函数,若对任意x1,x2属于(a,b),都有|(x1)-f(x2)|＜=|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数,1.试证明对任意k属于R,f(x)=x^2+kx+14都不是区间(-1,1)上的平缓函数,2.若f(x)

Question

设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b＞a)上的函数,若对任意x1,x2属于(a,b),都有|
(x1)-f(x2)|＜=|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数,1.试证明对任意k属于R,f(x)=x^2+kx+14都不是区间(-1,1)上的平缓函数,2.若f(x)是定义在实数集R上的周期为T=2的平缓函数,试证明对任意x1,x2属于R,|f(x1)-f(x2)|＜=1

Answer 1

这类所谓创新题,得死扣背景中的定义.
1、|f(x1)-f(x2)|=|(x1^2+kx1+14)-(x2^2+kx2+14)|=|(x1^2-x2^2)+k(x1-x2)|
=|x1+x2+k|*|x1-x2| ,
如果 k1 ,
如果 k=0 ,则取 x1=x2=2/3 ,因此 |x1+x2+k|=4/3>1 ,
如果 k>0 ,则取 x1=x2=1/2 ,因此 x1+x2+k>1 ,所以 |x1+x2+k|>1 ,
综上,对任意实数 k ,总存在属于（-1,1）上的 x1、x2 使 |f(x1)-f(x2)| ≤ |x1-x2| 不成立,
所以,对任意实数 k ,函数 f(x)=x^2+kx+14 都不是（-1,1）上的平缓函数.
2、设函数 f(x) 在 x=a 处取最大值 M=f(a) ,在 x=b 处取最小值 m=f(b) ,且 a