已知函数f（x）=kx2+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．（1）若f（2）=3，求函数f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=f（x）-mx，若g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m

Question

已知函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．
（1）若f（2）=3，求函数f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=f（x）-mx，若g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=-1
∴f（x）=-x²+2x+3；
（2）由（1）得g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=(2−m)/(2)
∵g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，
∴(2−m)/(2)≤−2或(2−m)/(2)≥2
∴m≤-2或m≥6；
（3）f（x）=kx²+（3+k）x+3的对称轴为x＝−(3+k)/(2k)
①k＞0时，函数图象开口向上，x＝−(3+k)/(2k)＜0，此时函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴k＝−(11)/(20)＜0，不合题意，舍去；
②k＜0时，函数图象开口向下，x＝−(3+k)/(2k)＝−(1)/(2)−(3)/(2k)＞−(1)/(2)，
1°若−(1)/(2)＜−(3+k)/(2k)≤4，即k≤−(1)/(3)时，函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（−(3+k)/(2k)）=(12k−(k+3)2)/(4k)＝4
∴k²+10k+9=0，∴k=-1或k=-9，符合题意；
2°若−(3+k)/(2k)＞4，即−(1)/(3)＜k＜0时，函数f（x）在[-1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，
∴k＝−(11)/(20)＜−(1)/(3)，不合题意，舍去；
综上，存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4，且k=-1或k=-9．