lim(x趋向于0时)∫(x0)tf(x-t)dt为什么=lim(x趋向于0时)∫(x0)(x-t)f(t)dt其中（x0）分别为积分的上下限!

Question

lim(x趋向于0时)∫(x 0)tf(x-t)dt为什么=lim(x趋向于0时)∫(x 0)(x-t)f(t)dt 其中（x 0）分别为积分的上下限!

Answer 1

令x-t=s,则t=x-s,那么dt=-ds
t趋向于x时,s趋向于0,t趋向于0时,s趋向于x
带入lim(x趋向于0时)∫(x 0)tf(x-t)dt中,就是lim(x趋向于0时)∫(0 x)(x-s)f(s)d(-s)
把负号拿到外面,交换积分上下限,就是lim(x趋向于0时)∫(x 0)(x-s)f(s)ds
再把积分变量s用符号t代替,就是lim(x趋向于0时)∫(x 0)(x-t)f(t)dt
明白吗?