设f(x)是周期为2的连续函数.试证明：(1)对任意实数t,有∫上限t+2下限tf(x)dx=∫上限2下限of(x)dx2.G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.

Question

设f(x)是周期为2的连续函数.试证明：(1)对任意实数t,有∫上限t+2下限tf(x)dx=∫上限2下限of(x)dx
2.G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-∫(上t+2下t)f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.

Answer 1

证明（1）
设F(t)= 你的的等式的左﹣右
然后求 F'(t)=f(t+2)-f(t)=0 (积分上限函数求导）
=>F(t)= 常值函数 令 t=0 得F(0)=0
即F(t)=0 即左等于右
（2）由（1）得
∫(上t+2下t)f(s)ds=∫上限2下限0f(x)dx=某定值A
（因为后面的是一个定积分）
那么.G(x)=∫（上x下0）[2f(t）-A]dt
显然G'(x)=2f(x)-A 为周期为2的周期函数
即G(x) 为周期为2的周期函数