高数变上限积分求导问题!题目是这样的：曲线y=∫sin(x-t)dt(下限为0,上限为x)在点x=π/2处的切线方程为.令x-t=u,则dt=-du,当t=0时,u=x,当t=x时,u=0.所以y=∫sin(x-t)dt(下限为0,上限为x)=∫sinudu(下限为0,

Question

高数变上限积分求导问题!
题目是这样的：曲线y=∫sin(x-t)dt(下限为0,上限为x)在点x=π/2处的切线方程为____.
令x-t=u,则dt=-du,当t=0时,u=x,当t=x时,u=0.
所以y=∫sin(x-t)dt(下限为0,上限为x)=∫sinudu(下限为0,上限为x),所以y的导数为sinx,……（后面的都懂）.
在这里x明明为变量,为什么定积分换元法（令x-t=u,则dt=-du,当t=0时,u=x,当t=x时,u=0）还成立?难道可以先把x看做常数?原理是什么?

Answer 1

这里积分是对t积分,而不是对x积分,x不是t的一个函数,而u=x-t是t的一个函数,u对t求导有,du/dt=-1
所以有du=-dt