（2014•德阳二模）设u=（x，y）=|ex-y|-y|x-lny|，x，y∈R．（1）若a＞0，令f（x）=（x，a），判断f（x）的单调性；（2）若0＜a＜b，令F（x）=u（x，a）-u（x，b），试求函数F（x）的最小值；（3）

Question

（2014•德阳二模）设u=（x，y）=|e^x-y|-y|x-lny|，x，y∈R．
（1）若a＞0，令f（x）=（x，a），判断f（x）的单调性；
（2）若0＜a＜b，令F（x）=u（x，a）-u（x，b），试求函数F（x）的最小值；
（3）记（2）中的最小值为T（a，b），证明：T（a，b）＞0．

Answer 1

（1）f（x）=|e^x-a|-a|x-ln a|（a＞0），
函数f（x）的定义域为R，
当x≥lna时，e^x≥a，f（x）=e^x-ax+alna-a，
∵f′（x）=e^x-a≥0，
∴f（x）在[lna，+∞）上为增函数，
当x≤lna时，e^x≤a，f（x）=ax-e^x-alna+a，
∵f′（x）=a-e^x≥0，
∴f（x）在（-∞，lna]上为增函数，
综上所述，f（x）在定义域R内为增函数；
（2）易知F（x）的定义域为R，F′（x）=u′（x，a）-u′（x，b），而0＜a＜b，
∴lna＜lnb，由（1）容易得到下列结论：
①当x≤lna＜lnb时，F′（x）=（a-e^x）-（b-e^x）=a-b＜0，
∴F（x）在（-∞，lna]上为减函数，从而F（x）≥F（lna），
②lna≤x≤lnb时，F′（x）=（e^x-a）-（b-e^x）=2e^x-（a+b），
令F′（x）=0，得x=ln(a+b)/(2)，
当lna≤x＜ln (a+b)/(2)时，时，F′（x）＜0，F，（x）单调递减，
当ln(a+b)/(2)＜x≤lnb时，F′（x）＞0，F，（x）单调递增，
∴当x=ln(a+b)/(2)时，F（x）有最小值F（ln(a+b)/(2)），
③lna＜lnb≤x时，F′（x）=（e^x-a）-（e^x-b）=b-a＞0，
∴F（x）在[lnb，+∞）上为增函数，从而F（x）≥F（lnb）
综上所述，当x=ln (a+b)/(2)时，
F（x）有最小值F（ln(a+b)/(2)）=alna+blnb-（a+b）ln(a+b)/(2)；
（3）由（2）知T（a，b）=alna+blnb-（a+b）ln (a+b)/(2)，
要证T（a，b）＞0，即证alna+blnb＞（a+b）ln(a+b)/(2)，
等价为证：(alna+blnb)/(2)＞(a+b)/(2)ln(a+b)/(2)，
设g（x）=xlnx，则
上式等价为(f(a)+f(b))/(2)＞f((a+b)/(2))，
即证明函数g（x）为凹函数即可．
∵g'（x）=1+lnx，g''（x）=(1)/(x)＞0恒成立，
∴函数g（x）为凹函数，
即(f(a)+f(b))/(2)＞f((a+b)/(2))成立．
∴alna+blnb＞（a+b）ln(a+b)/(2)成立．
∴T（a，b）＞0．