设f(x)是定义域在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2.(1)求函数是周期函数.因为f(x+2)=-f(x)所以f(x+4)=-f(x+2)所以f(x+4)=f(x)所以函数周期为4（2）当x∈2,4时,求f(x）

Question

设f(x)是定义域在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2.
(1)求函数是周期函数.
因为f(x+2)=-f(x)
所以f(x+4)=-f(x+2)
所以f(x+4)=f(x)
所以函数周期为4
（2）当x∈【2,4】时,求f(x）的解析式（3）计算f(0)+f(1)+f(2)+.+f(2008)
函数周期性没听懂,求讲!
尤其是(1),怎么一下从正变成负了!2变成4了.

Answer 1

1、
已知f(x+2)=-f(x)
所以,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)【把这里的x+2看做是上式中的x】=f(x)
所以,f(x)是以4为周期的函数
2、
当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2
那么,当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2]
所以,f(-x)=2*(-x)-(-x)^2=-2x-x^2
而f(-x)=-f(x)
所以,f(x)=-f(-x)=x^2+2x
即,
……{x^2+2x（x∈[-2,0]）
f(x)={
……{-x^2+2x（x∈[0,2]）
又,当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0]
所以,f(x-4)=(x-4)^2+2*(x-4)=x^2-8x+16+2x-8=x^2-6x+8
而,f(x-4)=f(x)
所以,当x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
3、
由表达式有：
f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(-1)=-1……
所以,在每一个周期内,f(x)的函数值之和为零
所以,原式=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+[f(4)+f(5)+f(6)+f(7)]+……+[f(2004)+f(2005)+f(2006)+f(2007)]+f(2008)
=0+f(2008)
=f(0+4*502)
=f(0)
=0