已知数列｛an｝=｛2n-1(n为奇)3^n(n为偶),求数列｛an｝前n项和Sn2n-1(n为奇)3^n(n为偶）是两条式子,n分别是奇数和偶数时,是不同的式子,要求｛an｝前n项和Sn

Question

已知数列｛an｝=｛2n-1(n为奇) 3^n(n为偶),求数列｛an｝前n项和Sn
2n-1(n为奇) 3^n(n为偶）
是两条式子,n分别是奇数和偶数时,是不同的式子,要求｛an｝前n项和Sn

Answer 1

2n-1数列的n相邻为2,可视为公差为4的等差数列
重新构造am=4m-3
3^n数列的相邻为2,可视为公比为9等比数列
重新构造am=9^m
当n为奇数可以假设有m+1项是2n-1
有m项是3^n
m+m+1=n
m=(n-1)/2
Sn=(1+4m+1)(m+1)/2+[9^(m+1)-9]/8
Sn=(2m+1)(m+1)+[9^(m+1)-9]/8
m=(n-1)/2代入,得
Sn=n(n+1)/2+{3^[(n+1)/2] -9 }/8
当n为偶数
假设有m项是4m-3
有m项是9^m
m=n/2
Sn=[1+4m-3]m/2+[9^(m+1)-9]/(9-1)
Sn=(2m-1)m+[9^(m+1)-9]/8
把m=n/2代入
得Sn=(n-1)n/2+{3^[(n/2)+2]-9}/8