若满足不等式3≤（a-2）x-3a-1≤5的x必满足3≤x≤5，求a的取值范围．

Question

若满足不等式3≤（a-2）x-3a-1≤5的x必满足3≤x≤5，求a的取值范围．

Answer 1

由题意得，

(a-2)x-3a-1≥3

(a-2)x-3a-1≤5

，即

(a-2)x≥4+3a①

(a-2)x≤6+3a②

，
当a-2>0，即a>2时，由①得，x≥(4+3a)/(a-2)，由②得，x≤(6+3a)/(a-2)，
∵x必满足3≤x≤5，
∴(4+3a)/(a-2)≥3③，(6+3a)/(a-2)≤5④，
由③得，a取任意数；由④得，a≥8．
当a-2<0时，由①得，x≤(4+3a)/(a-2)，由②得，x≥(6+3a)/(a-2)，
(4+3a)/(a-2)≤5⑤，(6+3a)/(a-2)≥3⑥，
由⑤得，a≤7；由⑥得，无解．
综上所述，a≥8．