若x0∈R满足f（x0）=x0，则称x0为f（x）的不动点．（1）若函数f（x）=x2+ax+a没有不动点，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）=-lnx+3的不动点x0∈[n，n+1]，n∈Z，求n的值；（3）若函数f（x）=lo

Question

若x₀∈R满足f（x₀）=x₀，则称x₀为f（x）的不动点．
（1）若函数f（x）=x²+ax+a没有不动点，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）=-lnx+3的不动点x₀∈[n，n+1]，n∈Z，求n的值；
（3）若函数f（x）=log₂（4^x+a•2^x+a+1）有不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）根据题意，得x=x²+ax+a无实数根，
即x²+（a-1）x+a=0无实数根，
∴△=（a-1）²-4a<0，
解得：3-2√(2)<a<3+2√(2)；
故答案为：（3-2√(2)，3+2√(2)）．
（2） 函数f（x）=-lnx+3的不动点x₀∈[n，n+1]，n∈Z，即lnx+x-3=0
∴lnx=3-x，令g（x）=lnx，h（x）=3-x在同一坐标系画出图象可得
由图可知x₀>1，令f（x）=lnx+x-3，
∵f（1）f（2）=-2（ln2-2）>0，
f（2）f（3）=（ln2-2）ln3<0，
f（3）f（4）=ln3（ln4+1）>0，
可知n=2，
（3）函数f（x）=log₂（4^x+a•2^x+a+1）有不动点，可得log₂（4^x+a•2^x+a+1）=x，
转化为关于2^x的方程4^x+（a-1）•2^x+a+1=0有正根，令t=2^x．可得t²+（a-1）t+a+1=0，

△=(a-1)2-4a-4≥0

a-1<0

或a+1<0，
解得：a<1．