实数x,y满足x-y+1≤0,x>0,y≤2（1）若z=y/x,求z的取值范围（2）若z=x平方+y平方,求z取值范围（3）若z=（y+x）/（y-x）,求z的取值范围

Question

实数x,y满足x-y+1≤0,x>0,y≤2
（1）若z=y/x,求z的取值范围
（2）若z=x平方+y平方,求z取值范围
（3）若z=（y+x）/（y-x）,求z的取值范围

Answer 1

在坐标平面内作直线 x-y+1=0、y=2 、x=0 ,他们交于 A（0,1）、B（0,2）,C（1,2）,

满足条件的（x,y）是三角形 ABC 内部及边 AC、BC（没有 AB 边）,如图

（1）z=y/x 表示区域内的点与原点连线的斜率,由 kOC=2 及图知,z>=2 ；

（2）z=x^2+y^2 表示区域内的点到原点距离的平方,由于 |OA|=1 ,|OC|=√5 ,所以 1<z<=5 .

（3）z=(y+x)/(y-x)=(y/x+1)/(y/x-1) ,由（1）知 k=y/x>=2 ,因此 z=(k+1)/(k-1)=1+2/(k-1)<=3 ,且由 k+1>k-1>0 得 z=(k+1)/(k-1)>1 ,所以 1<z<=3 .