设函数f（x）=xn（1-x）（x>0），n为正整数．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：不等式lnt≥1-1t及f（x）<1ne．

Question

设函数f（x）=xⁿ（1-x）（x>0），n为正整数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：不等式lnt≥1-(1)/(t)及f（x）<(1)/(ne)．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=xn-xn+1，∴f'（x）=nxn-1-（n+1）xn=-（n+1）xn-1（x-nn+1）；令f'（x）=0，得x=nn+1，当x∈（0，nn+1），f'（x）>0，f（x）递增；当x∈（nn+1，+∞），f'（x）<0，f（x...